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精英家教网一个多面体的直观图,正(主)视图,侧(左)视图如下所示,其中正(主)视图、侧(左)视图为边长为a的正方形.
(1)请在指定的框内画出多面体的俯视图;
(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(3)求该多面体的表面积.
分析:(1)根据多面体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图,得到俯视图.
(2)连接AC,BD交于O点,因为E为AA1的中点,可得OE为△AA1C的中位线,OE∥A1C,从而证得OE∥平面A1C1C.
(3)由三示图可知多面体表面共包括10个面,SABCD=a2SA1B1C1D1=
a2
2
,再求出SA1ABS△AA1D1的值,由表面积 S =  SABCD+SA1B1C1D1+ 4SA1AB+4S△AA1D1,运算求出结果.
解答:精英家教网解:(1)根据多面体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图,得到俯视图如下:
(2)证明:如图,连接AC,BD交于O点,因为E为AA1的中点,O为AC的中点,所以在△AA1C中,OE为△AA1C的中位线,精英家教网
所以OE∥A1C,∵OE?平面A1C1C,A1C1?平面A1C1C,
所以OE∥平面A1C1C.
(3)由三示图可知多面体表面共包括10个面,SABCD=a2SA1B1C1D1=
a2
2
SA1AB=SB1BC=SC1DC=SD1AD=
a2
2
S△AA1D1=S△BB1A1=S△CB1C1=S△DC1D1=
1
2
×
2
a
2
×
3
2
a
4
=
3a2
8

所以表面积S=a2+
a2
2
+4×
a2
2
+4×
3a2
8
=5a2
点评:本题考查几何体的三视图,证明直线和平面平行的方法,求几何体的表面积,体现了数形结合的数学思想,是一道中档题
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