Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S是该三角形的面积，已知向量

p

=(1，2sinA)，

q

=(sinA，1+cosA)，且满足

p

∥

q

．
（1）求角A的大小；（2）若a=

3

，S=

3 3

4

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1） 由

p

=λ

q

，λ是实数，（1，2sinA）=（λsinA，λ+λcosA），解出cosA 的值，从而求出角A的大小．
（2）由三角形的面积求出AB•AC，由余弦定理求出AB²+AC²  的值，解出 AB 和 AC，根据三边长
判断△ABC 的形状．

解答：解：（1）∵

p

∥

q

，∴

p

=λ

q

，λ是实数，（1，2sinA）=（λsinA，λ+λcosA），
∴λsinA=1，λ+λcosA=2sinA，∴2sin²A=1+cosA，2cos²A+cosA-1=0，
∴cosA=

1

2

，或  cosA=-1（舍去），∴角A=60°．
（2）∵S=

3 3

4

=

1

2

 AB•AC sin60°，∴AB•AC=3．
△ABC中，由余弦定理得 a²=AB²+AC²-2AB•AC cos 60°，3=AB²+AC²-3，
∴AB²+AC²=6，∴AB=AC=

3

，故△ABC是等边三角形．

点评：本题考查两个向量两个向量共线的性质，已知三角函数值求角，以及三角形中余弦定理的应用．