Question

（2012•安徽）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax+

1

ax

+b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

3

2

x，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a＞0，x＞0，利用基本不等式，可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

3

2

x，建立方程组，即可求得a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=ax+

1

ax

+b≥2

ax• 1 ax

+b=b+2
当且仅当ax=1（x=

1

a

）时，f（x）的最小值为b+2
（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

3

2

x，可得：
f（1）=

3

2

，∴a+

1

a

+b=

3

2

①
f'（x）=a-

1

ax2

，∴f′（1）=a-

1

a

=

3

2

②
由①②得：a=2，b=-1

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及基本不等式的应用，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．