Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（I）当a＞0时，求函数y=f（x）的极值；
（II）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：-

6

＜a＜

6

；
（III）对任意x₀∈[0，1]，y=f（x）的图象在x=x₀处的切线的斜率为k，求证：1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要条件．

Answer 1

分析：（I）先求导函数f'（x），然后令f'（x）=0求得方程的根据，然后判定每个区间上的导数符号，从而求出函数的极值点，代入原函数即可求出极值；
（II）设x₁，x₂∈R则k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜2，即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+2＞0，对x₁∈R恒成立，利用判别式可知△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+2）＜0，对x₂∈R恒成立，再运用判别式可求出a的范围；
（III）k=f'（x）=-3x²+2ax，对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，可转化成|-3x²+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立，
等价于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x对任意的x∈（0，1）恒成立，可求出a的范围．

解答：解：（I）f'（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2

3

a） 由f'（x）=0得，x=0或x=

2a

3

而a＞0，列出下表

x	（-∞，0）	0	（0， 2a 3 ）	2a 3	（ 2a 3 ，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以，当x=0时，f（x）取得极小值，极小值等于b；
当x=

2a

3

，f（x）取得极大值，极大值等于

4a3

27

+b；  …..（4分）
证明：（II）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），不妨设x₁＞x₂
设x₁，x₂∈R则k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜2
即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+2＞0，对x₁∈R恒成立
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+2）＜0，对x₂∈R恒成立
即3x₂²-2ax₂+（8-a²）＞0对x₂∈R恒成立
∴4a²-12（8-a²）＜0
解得a²＜6⇒：-

6

＜a＜

6

；  
（III）k=f'（x）=-3x²+2ax   x∈（0，1），
∴对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x²+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立
等价于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x对任意的x∈（0，1）恒成立．
令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，
则

1

2

h（x）_max≤a≤

1

2

g（x）_min，x∈（0，1）

1

x

+3x≥2

3

，当且仅当x=

3

3

时“=”成立，∴g（x）_min=2

3

h（x）=3x-

1

x

在（0，1）上为增函数∴h（x）_max＜2
∴1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要条件．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及恒成立问题的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．