Question

（本小题满分16分） 已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；

       （2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，

       得．

∵m＜3，∴m＝1． ………【2分】

圆C：．设直线PF1的斜率为k，

则PF1：，即．

∵直线PF1与圆C相切，∴．

解得．   …………………… 【4分】

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．            ……………………【 6分】

2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．

椭圆E的方程为：．                ……………………【 8分】2

（Ⅱ），设Q（x，y），，

．           …………………… 【10分】

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．     ……………………【 12分】

则的取值范围是[0，36]． ……… 【14分】

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．   …………………… 【16分】