Question

已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

(1)求证：△AOB的面积为定值；

(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；

(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

 

Answer 1

（1）见解析（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5（3）2，坐标为

【解析】(1)证明　由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，

化简得x2－2tx＋y2－y＝0，

当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；

当x＝0时，y＝0或，则B ，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．

(2)解　∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率

k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.

∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

(3)解　点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，

又B′到圆上点Q的最短距离为

|B′C|－r＝＝3－＝2.

所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.