【题目】如图,在四棱锥中,为等边三角形,,,且,,,为中点.
(1)求证:平面平面;
(2)若线段上存在点,使得二面角的大小为,求的值;
(3)在(2)的条件下,求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】分析:(1)证明PE⊥AD,PE⊥BE,即可证明PE⊥平面ABCD,从而证明平面PAD⊥平面ABCD;
(2)建立空间直角坐标系,利用坐标表示向量,求出平面EBQ和平面EBC的法向量,由此表示二面角Q-BE-C,求出的值;
(3)利用在平面EBQ法向量上的投影,求出点C到平面QEB的距离.
(1)证明:连接,,
∵是等边三角形,为中点,∴,
又∵,∴,,∴,且,
∴四边形为矩形,∴,,
∴,∴,
又∵,∴平面,
又∵平面,∴平面平面.
(2)如图建系,,,,,,
设,,
∴ ,
设平面的法向量为,
∴,
∴,
平面的法向量不妨设为,
∴,
∴,∴或(舍),
∴.
(3).
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【题目】某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响,询问了30名同学,得到如下的列联表:
使用智能手机 | 不使用智能手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 4 | 8 | 12 |
学习成绩不优秀 | 16 | 2 | 18 |
总计 | 20 | 10 | 30 |
(Ⅰ)根据以上列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响?
(Ⅱ)从使用智能手机的20名同学中,按分层抽样的方法选出5名同学,求所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的人数;
(Ⅲ)从问题(Ⅱ)中被抽取的5名同学,再随机抽取3名同学,试求抽取3名同学中恰有2名同学为“学习成绩不优秀”的概率.
参考公式:,其中
参考数据:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为李明根据所学的椭圆知识,得到下列结论:
①卫星向径的最小值为,最大值为;
②卫星向径的最小值与最大值的比值越小,椭圆轨道越扁;
③卫星运行速度在近地点时最小,在远地点时最大
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
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【题目】共享单车是城市慢行系统的一种创新模式,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20 000元,每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数 其中x是新样式单车的月产量(单位:辆),利润=总收益-总成本.
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数;
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】在直角坐标系中,,不在轴上的动点满足于点为的中点。
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设曲线与轴正半轴的交点为,斜率为的直线交于两点,记直线的斜率分别为,试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
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【题目】经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间(天)的函数,且日销售量近似满足函数(件),而且销售价格近似满足于(元).
(1)试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式;
(2)求该种商品的日销售额的最大值与最小值.
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【题目】某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义解答下列问题:
(1)这种鱼卵的孵化率(孵化概率)是多少?
(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?
(3)要孵化5 000尾鱼苗,大概需要多少个鱼卵?(精确到百位)
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【题目】如图,是圆内一个定点,是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点.
(Ⅰ)当点在圆上运动时,点的轨迹是什么曲线?并求出其轨迹方程;
(Ⅱ)过点作直线与曲线交于、两点,点关于原点的对称点为,求的面积的最大值.
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