Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证法一：∵AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

证法二：AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．

∵PA=PD，∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD

（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为 ；

Q（0，0，0）， ， ， ．

设M（x，y，z），则 ， ，

∵ ，

∴ ，∴

在平面MBQ中， ， ，

∴平面MBQ法向量为 ．

∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，

∴ ，

∴t=3．

【解析】（1）法一：由AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD． 法二：由AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（2）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．