考点:交、并、补集的混合运算
专题:集合
分析:因式分解x
2-(2m+1)x+2m<0.
(1)直接由m<
化简集合B;
(2)由A∪B=A得B⊆A,然后分m<
,m=
时,m>
时三种情况讨论求解实数m的取值范围;
(3)把∁
RA∩B中只有一个整数,分m<
,m=
时,m>
时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围.
解答:
解:由不等式x
2-(2m+1)x+2m<0,得(x-1)(x-2m)<0.
(1)当m<
时,2m<1,
∴集合B={x|2m<x<1};
(2)若A∪B=A,则B⊆A,
∵A={x|-1≤x≤2},
①当m<
时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1⇒
-
≤m<
;
②当m=
时,B=∅,有B⊆A成立;
③当m>
时,B={x|1<x<2m},此时1<2m≤2,得
<m≤1;
综上所述,所求m的取值范围是-
≤m≤1.
(3)∵A={x|-1≤x≤2},
∴∁
RA={x|x<-1或x>2},
①当m<
时,B={x|2m<x<1},
若∁
RA∩B中只有一个整数,则-3≤2m<-2,得-
≤m<-1;
②当m=
时,不符合题意;
③当m>
时,B={x|1<x<2m},若∁
RA∩B中只有一个整数,
则3<2m≤4,∴
<m≤2.
综上知,m的取值范围是-
≤m<-1或
<m≤2.
点评:在集合运算中,不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题,能解的先解出具体的实数范围,再结合数轴进行集合的运算,若端点位置不定时,要注意对端点的位置进行讨论求解,此题是中档题.