Question

已知函数，其中k∈R且k≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当k=l时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得
当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；
当k＜0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0），（2，+∞）；
（2）当k=l时，，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a＜
设g（x）=（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）_max，
，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
∴g（x）_max=g（e）=
∴a＜．
分析：（1）求导函数，对k讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）分离参数，构造新函数，g（x）=（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）_max，由此可求实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．