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已知函数数学公式,其中k∈R且k≠0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当k=l时,若存在x>0,使1nf(x)>ax成立,求实数a的取值范围.

解:(1)函数的定义域为R,求导函数可得
当k<0时,令f′(x)>0,可得x<0或x>2;令f′(x)<0,可得0<x<2
∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调减区间为(0,2);
当k<0时,令f′(x)<0,可得x<0或x>2;令f′(x)>0,可得0<x<2
∴函数f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-∞,0),(2,+∞);
(2)当k=l时,,x>0,1nf(x)>ax成立,等价于a<
设g(x)=(x>0)
存在x>0,使1nf(x)>ax成立,等价于a<g(x)max
,当0<x<e时,g′(x)>0;当x>e时,g′(x)<0
∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减
∴g(x)max=g(e)=
∴a<
分析:(1)求导函数,对k讨论,利用导数的正负,可得函数的单调区间;
(2)分离参数,构造新函数,g(x)=(x>0),存在x>0,使1nf(x)>ax成立,等价于a<g(x)max,由此可求实数a的取值范围.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查存在性问题,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
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