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已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;
(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解;
(3)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围.
分析:(1)将不等式等价变形,利用一元二次不等式的求解方法,即可得到结论;
(2)先确定x=0不是方程的解,再构造函数,确定函数的单调性,利用零点存在定理,可求整数t的所有值;
(3)求导函数,分类讨论,利用函数的单调性建立不等关系,即可求a的取值范围.
解答:解:(1)因为ex>0,所以不等式f(x)≤0即为ax2+x≤0,
又因为a>0,所以不等式可化为x(x+
1
a
)≤0
,所以不等式f(x)≤0的解集为[-
1
a
,0]

(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex-
2
x
-1=0,
令h(x)=ex-
2
x
-1,因为h′(x)=ex+
2
x2
>0
对于x≠0恒成立,
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-
1
3
<0,h(-2)=e-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数t的所有值为{-3,1}.
(3)f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]ex
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2
不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2
因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,
因为g(0)=1>0,所以必须满足
g(1)≥0
g(-1)≥0
,即
3a+2≥0
-a≥0
,所以-
2
3
≤a≤0.
综上可知,a的取值范围是[-
2
3
,0
].
点评:本题考查不等式的解法,考查函数的零点,考查函数的单调性,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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π
4
)
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π
6
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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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