Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-

1

2

x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方；
（Ⅲ）设函数h（x）=f′（x），求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将“方程xf（x）-

1

2

x³=2009的根”转化为：“函数y=lnx与y=

2009

x

”的交点，将“方程xe^x=2009的根”转化为：“函数y=e^x与y=

2009

x

”的交点；最由K_AB=-1，求得α•β
（Ⅱ）构造“函数F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x^3”，将问题转化为：“F（x）≤0恒成立”，再用导数法，研究其单调性，求得其最大值即可．
（Ⅲ）当n=1时，左边=x+

1

x

+2，右边=x+

1

x

+2，不等式成立；当n≥2时，由[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+

1

x

）ⁿ-（xⁿ+

1

xn

）
=

1

2

[C_n¹（x^n-2+

1

xn-2

）+C_n²（x^n-4+

1

xn-4

）+…+C_n^n-1（

1

xn-2

+x^n-2）]作差比较．

解答：解：（Ⅰ）根据题意：易知y=lnx与y=

2009

x

的交点为A（α，

2009

α

），
y=e^x与y=

2009

x

的交点为B（β，

2009

β

）；由K_AB=-1，易知α•β=2009（4分）

（Ⅱ）设F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，则F′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x2)

x

∵x＞1，F′（x）＜0∴F（x）在区间（1，+∝）上是减函数又∵F（1）=-

1

6

＜0
∴

1

2

x²+lnx-

2

3

x³＜0，即

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，x∈（1，+∞）
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方（9分）

（Ⅲ）当n=1时，左边=x+

1

x

+2，右边=x+

1

x

+2，不等式成立；
当n≥2时，[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+

1

x

）ⁿ-（xⁿ+

1

xn

）
=

1

2

[C_n¹（x^n-2+

1

xn-2

）+C_n²（x^n-4+

1

xn-4

）+…+C_n^n-1（

1

xn-2

+x^n-2）]
由已知，x＞0
∴[h（x）]ⁿ-ln（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2
∴[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．（15分）

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程根的问题转化为函数图象的交点，不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，比较法证明不等式等．