Question

【题目】已知函数．

（1）求f（x）的最小值；

（2）若方程x2+1=-x3+2x2+mx（x＞0）有两个正根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1利用单调性的定义即可证明函数的单调性，从而可得最小值；

（2）由题意可得（x＞0）有两个正根，即两函数图像和有两个交点，结合函数的图像即可得解．

（1）函数.

设，则，

所以， ，∴在上是减函数.

同理可得在上是增函数

当x=1时，f（x）取得最小值2；

（2）若方程x2+1=-x3+2x2+mx（x＞0）有两个正根，

则有（x＞0）有两个正根.

令，则函数为开口向下的抛物线，对称轴为:x=1.

在上是增函数，在上是减函数.

所以两函数图像和有两个交点，只需保证即可.

得，解得.

实数m的取值范围为（1，+∞）．