Question

19．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为$\frac{a}{2}$，则$\frac{c}{b}$的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可求：（$\frac{c}{b}$）²=（$\frac{a}{b}$）²+1-$\frac{2acosC}{b}$，进而可求当cosC=0时，$\frac{c}{b}$取最大值，求得C为直角，利用勾股定理即可计算得解．

解答 解：由题意知c²=a²+b²-2abcosC，
两边同时除以b²，可得：（$\frac{c}{b}$）²=（$\frac{a}{b}$）²+1-$\frac{2acosC}{b}$，
由于a，b，c都为正数，
可得：当cosC=0时，$\frac{c}{b}$取最大值．
由于C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{2}$，
即当BC边上的高与b重合时取得最大值，此时三角形为直角三角形，c²=a²+（$\frac{a}{2}$）²，
解得：$\frac{c}{b}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了的考点有：余弦定理；函数的最值，考查了余弦定理及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．