Question

14．已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=1．AC=2，若△ABC内部的一点P满足$\frac{{S}_{△PAB}}{PA•PB}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{PB•PC}=\frac{{S}_{△PAC}}{PA•PC}$，则PA+PB+PC的值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由三角形的面积公式可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，以AC为底边向三角形ABC外作正三角形ACQ，可得PA+PB+PC=BQ，由余弦定理可得．

解答 解：由三角形的面积公式可得S_△PAB=$\frac{1}{2}$•PA•PBsin∠APB，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$•PB•PCsin∠BPC，S_△PAC=$\frac{1}{2}$•PA•PCsin∠APC，
∴已知式子可化为sin∠APB=sin∠BPC=sin∠APC，
由几何关系可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
以AC为底边向三角形ABC外作正三角形ACQ，
由题意可得∠ABC=90°，AB=1，AC=2，
∴∠BAC=60°，∠BAQ=120°，
故PA+PB+PC=BQ=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×cos120°}$=$\sqrt{7}$
故答案为：$\sqrt{7}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和余弦定理的应用，属中档题．