Question

20．已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）过点P（1，n）（n≠-2）作曲线y=f（x）的切线，问：实数n满足什么样的取值范围，过点P可以作出三条切线？

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得单调区间，即可得到极值；
（2）求出导数，设出切点M（x₀，y₀），求得切线的斜率，以及切线的方程，代入点（1，n），可得过点（1，n）可作曲线的三条切线，即为关于x₀方程$2x_0^3-3x_0^2+n+3$=0有三个实根．设g（x₀）=$2x_0^3-3x_0^2+m+3$，求得导数，求得单调区间和极值，可令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到n的范围．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²-3=0，
由-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴在x=±1处取得极值，
即有极大值f（-1）=2，极小值f（1）=-2；
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲线方程为y=x³-3x，∴点P（1，n）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足${y_0}=x_0^3-3x_0^{\;}$．
因$f'（x_0^{\;}）=3（x_0^2-1）$，故切线的斜率为$3（x_0^2-1）=\frac{{x_0^3-3x_0^{\;}-n}}{{x_0^{\;}-1}}$，
整理得$2x_0^3-3x_0^2+n+3=0$．
∵过点P（1，n）可作曲线的三条切线，
∴关于x₀方程$2x_0^3-3x_0^2+n+3$=0有三个实根．
设g（x₀）=$2x_0^3-3x_0^2+m+3$，则g′（x₀）=6$x_0^2-6x_0^{\;}$，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x₀）=$2x_0^3-3x_0^2+m+3$的极值点为x₀=0，x₀=1
∴关于x₀方程$2x_0^3-3x_0^2+n+3$=0有三个实根的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞0\\ g（1）＜0\end{array}\right.$，解得-3＜n＜-2．
故所求的实数a的取值范围是-3＜n＜-2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算求解能力，属于中档题．