Question

已知{a_n}是各项都为正数的数列，S_n为其前n项的和，且a₁=1，S_n=．
（I）分别求S₂²，S₃²的值；
（II）求数列{a_n}的通项a_n；
（III）求证：．

Answer 1

解：（I）令n=2，得1+a₁=（a₂+）?a₂=-1（舍去负的），
∴s₂=?=2．
同理，令n=3可得=3．
（II）∵S_n=．
∴s_n-1=s_n-a_n=（a_n-），（n≥2）．
∴-=（a_n+）²-（a_n-）²=1．
∴{}是首项为1，公差为1的等差数列
∴=n，
∴a_n=s_n-s_n-1=-，（n≥2）．
∴a_n=．
（Ⅲ）令b_n=2（1-）=2（1-），
c_n==．
∴b_n-b_n-1=2（1-）-2（1-）
==
=
＞==c_n．
∴b_n-b_n-1＞c_n；
∴b_n-1-b_n-2＞c_n-1，…b₂-b₁＞c₂．
相加得：b_n-b₁＞c_n+c_n-1+…+c₂；
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+b₁；
又∵b₁=2（1-）=2-＞=c₁．
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+c₁；
即成立．
分析：（I）先把n=2代入S_n=；求出a₂进而求出求S₂²的值；同理求出S₃²的值即可．
（II）先根据S_n=得到s_n-1=s_n-a_n=（a_n-），进而得到{}是首项为1，公差为1的等差数列；得到{}的通项，进而求出数列{a_n}的通项；
（III）先令b_n=2（1-）=2（1-），c_n==．再利用放缩法得到b_n-b_n-1＞c_n；最后求和整理即可得到结论．
点评：本题主要考察数列与不等式的综合问题．解决本题的关键在于根据S_n=得到s_n-1=s_n-a_n=（a_n-），进而得到{}是首项为1，公差为1的等差数列；得到{}的通项．，题后注意体会本题证明不等式的技巧及证明时构造的技巧