Question

（1）证明下列命题：
已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的结论解决下列各问题：
①若对于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k²x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-1．

Answer 1

分析：（1）先证明f（x）的单调性，利用单调性再去证明f（x）＞0．
（2）构造函数f（x）=2x+20-k²x-16k=（2-k²）x+（20-16k），利用（1）的结果得出f（-6）＞0，f（4）＞0，解出实数k的取值范围．
构造函数  h（a）=ab+bc+ca+1，a∈（-1，1）且h（-1）=（b-1）（c-1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得结论．

解答：解：（1）设x₁，x₂∈（m，n） 且x₁＜x₂，
当k＞0时，f（x₂ ）-f（x₁）=k（x₂-x₁）＞0，f（x）为增函数．f（x）＞f（m）＞0．
 当k＜0时，f（x₂ ）-f（x₁）=k（x₂-x₁）＜0，f（x）为减函数．f（x）＞f（n）＞0．
 当k=0时，f（x）为常函数．f（x）=f（m）＞0．
综上对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）①将不等式2x+20＞k²x+16k，移向（2-k²）x+（20-16k）＞0，
构造函数f（x）=2x+20-k²x-16k=（2-k²）x+（20-16k）
只要同时满足f（-6）＞0，f（4）＞0即可．解得：-2-

11

＜x＜

2

3

②将证明不等式的问题“转化”为关于a（或b、c）的一次函数，这就需要“造”一个一次函数如下：
令h（a）=ab+bc+ca+1；
即h（a）=a（b+c）+bc+1，a∈（-1，1）
由h（-1）=（b-1）（c-1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得结论．
∴h（a）=ab+bc+ca+1＞0，即ab+bc+ca＞-1．

点评：本题考查函数与不等式，函数单调性的证明与应用，构造法解决问题的能力．