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如图,椭圆E:的右焦点F2与抛物线y2=8x的焦点重合,过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点,与抛物线交于C、D两点,且
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点),求的最大值.

【答案】分析:(Ⅰ)由条件可知椭圆的焦点坐标为(2,0),|CD|=8,,利用可得:2a2=3b4,结合a2=b2+4,即可求得椭圆M的方程;
(2)方法1:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,利用向量的运算,表示出,从而求的最大值转化为求的最大值,用坐标表示出,即可求得的最大值;
方法2:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x,y),用坐标表示出,利用配方法,即可求得结论;
方法3:分类讨论:直线EF的斜率存在与不垂直,EF的方程与圆的方程联立,用坐标表示出,利用配方法,即可求得结论.
解答:解:(Ⅰ)由条件可知椭圆的焦点坐标为(2,0),|CD|=8,
可得:2a2=3b4,又a2=b2+4,则3b4-2b2-8=0,解得:b2=2,a2=4,
所以椭圆M的方程为.…(4分)
(2)方法1:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,
==
从而求的最大值转化为求的最大值.…(6分)
因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x,y),所以,即.…(8分)
因为点N(0,2),所以.…(10分)
因为,所以当y=-1时,取得最大值12. 
所以的最大值为11.…(12分)
方法2:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x,y),因为E,F的中点坐标为(0,2),所以
所以=(x1-x)(-x1-x)+(y1-y)(4-y1-y
==.…(6分)
因为点E在圆N上,所以,即
因为点P在椭圆M上,所以,即.…(10分)
所以==
因为,所以当y=-1时,.…(12分)
方法3:①若直线EF的斜率存在,设EF的方程为y=kx+2,
,解得.…(6分)
因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x,y),所以,即
所以…(8分)
所以.…(10分)
因为,所以当y=-1时,取得最大值11.
②若直线EF的斜率不存在,此时EF的方程为x=0,
,解得y=1或y=3.
不妨设,E(0,3),F(0,1). 因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x,y),
所以,即.所以
所以
因为,所以当y=-1时,取得最大值11.
综上可知,的最大值为11.…(12分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查直线与圆的位置关系,正确表示是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
y2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足
PA
AB
=m-4,(m∈R)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直角坐标系中,已知椭圆的离心率e=,左右两个焦分别为.过右焦点且与轴垂直的

直线与椭圆相交M、N两点,且|MN|=1.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足

)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.

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如图,在直角坐标系中,已知椭圆的离心率e=,左右两个焦分别为.过右焦点且与轴垂直的

直线与椭圆相交M、N两点,且|MN|=1.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足

)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.

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如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足=m-4,(m∈R)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

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科目:高中数学 来源:2010年内蒙古赤峰市高三统考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足=m-4,(m∈R)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

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