Question

19．如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC₁．
（2）求BC₁与平面A₁BD所成的角的正弦值；
（3）求二面角A₁-DB-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DB⊥平面B₁BCC₁．
（2）求出平面A₁BD的一个法向量和$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，由此利用向量法能求出BC₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．
（3）求出平面A₁BD的一个法向量和平面C₁BD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A₁-DB-C₁的正弦值．

解答 证明：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，0，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C（0，2，0）．（1分）
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），（2分）
$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=-1+1=0，∴BD⊥BC，
$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，∴BD⊥BB₁，
又∵B₁B∩BC=B，∴DB⊥平面B₁BCC₁．（4分
解：（2）设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面A₁BD的一个法向量．
由$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{D{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
得$\left\{\begin{array}{l}{x+2z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{n}$=（-2，2，1）．…．（6分）
又$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，1，2），设BC₁与平面A₁BD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}×9}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即BC₁与平面A₁BD所成的角的正弦值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…．（8分）
（3）由（2）知平面A₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-2，2，1）
设$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）为平面C₁BD的一个法向量，
由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
得$\left\{\begin{array}{l}{-a+b+2c=0}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1）．…（10分）
设$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$所成角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{3×\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
所以二面角A₁-DB-C₁的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（13分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．