Question

13．已知平面内的向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$满足：|$\overrightarrow{OA}$|=1，（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=0，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，又$\overrightarrow{OP}$=λ${\;}_{1}\overrightarrow{OA}$+λ${\;}_{2}\overrightarrow{OB}$，0≤λ₁≤1，1≤λ₂≤2，则由满足条件的点P所组成的图形的面积是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据条件建立平面直角坐标系，将满足不等式表示的可行域表示出来，从而将P点对应的图形描述出来，即可求解．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=1，（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=0，得到${\overrightarrow{OA}}^{2}={\overrightarrow{OB}}^{2}$，即OA=OB，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，
三角形AOB是等边三角形，则不妨以O为原点，以OA方向为x轴正方向，建立坐标系，如图
则 $\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$
又 $\overrightarrow{OP}$=λ${\;}_{1}\overrightarrow{OA}$+λ${\;}_{2}\overrightarrow{OB}$，0≤λ₁≤1，1≤λ₂≤2，
令 $\overrightarrow{OP}$=（x，y），则 $\overrightarrow{OP}$=（λ₁$+\frac{1}{2}$λ₂，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ₂）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x={λ}_{1}+\frac{1}{2}{λ}_{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}{λ}_{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=x-\frac{\sqrt{3}}{3}y}\\{{λ}_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$，
由于0≤λ₁≤1，1≤λ₂≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤x-\frac{\sqrt{3}}{3}y≤1}\\{1≤\frac{2\sqrt{3}}{3}y≤2}\end{array}\right.$
其表示的平面区域如图示：
由图可知阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选D．

点评 本题主要考查平面区域的面积问题，是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．