精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
13.已知平面内的向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$满足:|$\overrightarrow{OA}$|=1,($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$)•($\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$)=0,且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°,又$\overrightarrow{OP}$=λ${\;}_{1}\overrightarrow{OA}$+λ${\;}_{2}\overrightarrow{OB}$,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,则由满足条件的点P所组成的图形的面积是(  )
A.2B.$\sqrt{3}$C.1D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

分析 根据条件建立平面直角坐标系,将满足不等式表示的可行域表示出来,从而将P点对应的图形描述出来,即可求解.

解答 解:∵|$\overrightarrow{OA}$|=1,($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$)•($\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$)=0,得到${\overrightarrow{OA}}^{2}={\overrightarrow{OB}}^{2}$,即OA=OB,且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°,
三角形AOB是等边三角形,则不妨以O为原点,以OA方向为x轴正方向,建立坐标系,如图
则 $\overrightarrow{OA}$=(1,0),$\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
又 $\overrightarrow{OP}$=λ${\;}_{1}\overrightarrow{OA}$+λ${\;}_{2}\overrightarrow{OB}$,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,
令 $\overrightarrow{OP}$=(x,y),则 $\overrightarrow{OP}$=(λ1$+\frac{1}{2}$λ2,$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ2
∴$\left\{\begin{array}{l}{x={λ}_{1}+\frac{1}{2}{λ}_{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}{λ}_{2}}\end{array}\right.$,∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=x-\frac{\sqrt{3}}{3}y}\\{{λ}_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$,
由于0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤x-\frac{\sqrt{3}}{3}y≤1}\\{1≤\frac{2\sqrt{3}}{3}y≤2}\end{array}\right.$
其表示的平面区域如图示:
由图可知阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故选D.

点评 本题主要考查平面区域的面积问题,是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合有关面积公式求解.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

3.若曲线y=ax-lnx在(1,a)处的切线平行于x轴,则实数a=1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人,并根据所得数据画了样本频率分布直方图,每个分组包括左端点,不包含右端点,如第一组表示收入在[500,1000).
(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在[1500,2500)的应抽取多少人?
(2)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是$\frac{1}{13}$,$\frac{1}{11}$,$\frac{1}{5}$,则此人将(  )
A.不能作出满足要求的三角形B.作出一个钝角三角形
C.作出一个直角三角形D.作出一个锐角三角形

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)单调递减的是(  )
A.y=cosxB.y=lg|x|C.y=-x2+1D.y=x3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知向量$\overrightarrow{a}$=($\sqrt{2}sin$($\frac{π}{4}+mx$),-$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{b}$=($\sqrt{2}$sin($\frac{π}{4}$+mx),cos2mx)x∈R,m∈R,函数f(x)=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$.
(Ⅰ)当m=1时,x$∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]$时,求f(x)的最大值和最小值;
(Ⅱ)当m=$\frac{nπ}{2}$时,若f(x)在区间[0,2015]恰有2015个零点,求整数n的所有取值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

5.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的四位数,这样的四位数中,偶数的个数有156个(用数字作答)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.函数f(x)=$\frac{1}{2}$tan2x是(  )
A.周期为π的偶函数B.周期为$\frac{π}{2}$的奇函数
C.周期为$\frac{π}{2}$的偶函数D.周期为π的奇函数

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x|,x≠0}\\{1,x=0}\end{array}\right.$则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为(  )
A.8B.12C.13D.14

查看答案和解析>>

同步练习册答案