Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx；g（x）= ．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求证：若a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；
（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，当a＞1时，对于x1∈[1，e]，x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0， ，

∵x＞0，

∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，若x＞ ，则f′（x）＞0，∴f（x）在（ ，+∞）上是增函数，

若0＜x＜ ，则f′（x）＜0，∴f（x）在（0， ）上是减函数．

综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，f（x）在（ ，+∞）上是增函数，在（0， ）上是减函数．

（2）证明：当a=e时，f（x）=ex﹣lnx，

∴ ，∴x∈[1，e]时，f′（x）＞0恒成立．

f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=e，

令H（x）=e﹣g（x）=e﹣ ，则H′（x）= ，x∈[1，e]时，H′（x）≤0，

∴H（x）在[1，e]上单调递减，H（x）max=H（1）=e，

∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）．

故a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．

（3）解：∵ ，a＞1时，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0，

∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上单调递增，

f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]，

由h（x）=x2+1﹣lnx，得 ，∴x∈[1，e]时，h′（x）＞0，

h（x）在[1，e]上单调递增，

∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]，

x1∈[1，e]，x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0），

∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集，

∴ ，∴ ．

∴a的取值范围是[2，e+ ]．

【解析】（1）推导出 ，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）当a=e时，f（x）=ex﹣lnx， ，由此利用构造法和导数性质能证明a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．（3）由 ，a＞1时，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．