Question

已知复数z₁=3+4i，z₂的平方根是2+3i，且函数f(x)=

2x

x+1

．
（1）求f(

.

z1

+z2)；
（2）若f（z）=1+i，求z．

Answer 1

分析：（1）把复数2+3i求平方运算解得z₂，求出

.

z1

+z2后直接代入函数解析式，然后利用复数的除法运算化简整理；
（2）把z代入函数解析式，得到f(z)=

2z

z+1

=1+i，整理后得到z=

1+i

1-i

，然后利用复数的除法运算化简z．

解答：解：（1）由复数z₁=3+4i，则

.

z1

=3-4i，又z₂的平方根是2+3i，所以z2=(2+3i)2=-5+12i．
所以

.

z1

+z2=3-4i+(-5+12i)=-2+8i，
则f(

.

z1

+z2)=f(-2+8i)=

2(-2+8i)

-2+8i+1

=

-4+16i

-1+8i

=

(-4+16i)(-1-8i)

(-1+8i)(-1-8i)

=

132+16i

65

=

132

65

+

16

65

i．
（2）由f(z)=

2z

z+1

=1+i，
得：2z=（1+i）（z+1）=z+1+iz+i，即（1-i）z=1+i，
所以z=

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=

2i

2

=i．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数的除法运算，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．