练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
    （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
    （ii）当最小时，求点T的坐标.

    (1) ；（2）

    解析试题分析：（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.
    再根据取等号的条件，可得T的坐标.
    试题解答：（1），又.
    （2）椭圆方程化为.
    （ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.
    设PQ的中点为，则
    又TF的方程为，则得，
    所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.
    （ⅱ），又，所以
    .
    当时取等号，此时T的坐标为.
    【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知抛物线方程为，过点作直线与抛物线交于两点,，过分别作抛物线的切线，两切线的交点为.
    （1）求的值；
    （2）求点的纵坐标；
    （3）求△面积的最小值.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．

    (1)求点P的轨迹T的方程；
    (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．

    (1)求抛物线E的方程；
    (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    无论为任何实数，直线与双曲线恒有公共点.
    （1）求双曲线的离心率的取值范围；
    （2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，并且满足，求双曲线的方程.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
    （1）若直线的斜率为，求的离心率；
    （2）若直线在轴上的截距为，且，求．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
    （1）求轨迹为的方程
    （2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    过抛物线C：上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.
    （1）求抛物线C的方程及点M的坐标；
    （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，如果点M在直线AB的上方，求面积的最大值.

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案