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如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=
2
,点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心.以D为坐标原点,DA、DC、DD1所为直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,试用向量方法解决下列问题:
(1)求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
分析:(1)建立空间直角坐标系,求出A、F、B、E、C的坐标,求出
AF
BE
,即可求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求出
AF
,平面BEC的一个法向量,利用cos<
AF
n
>=
AF
n
|
AF
|•|
n
|
,求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
解答:解:(1)以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),F(1,2,
2
2
),
B(2,2,0),E(1,1,
2
),C(0,2,0).
AF
=(-1,2,
2
2
),
BE
=(-1,-1,
2
)
,…(4分)
AF
BE
=1-2+1=0…(6分)
所以AF和BE所成的角为90°.…(7分)
(2)设平面BEC的一个法向量为
n
=(x,y,z)

又 
BC
=(-2,0,0)
BE
=(-1,-1,
2
)

则:
n
BC
=-2x=0
n
BE
=-x-y+
2
z=0

∴x=0,令z=1,则:y=
2
,∴
n
=(0,
2
,1).…(10分)
cos<
AF
n
>=
AF
n
|
AF
|•|
n
|
=
5
2
2
22
2
×
3
=
5
33
33
.…(12分)
设直线AF和平面BEC所成角为θ,则:Sinθ=
5
33
33

即 直线AF和平面BEC所成角的正弦值为
5
33
33
.…(14分)
点评:本题考查空间向量的数量积的应用,异面直线所成的角的求法,直线与平面所成角的求法,考查计算能力.
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精英家教网如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=
2
,点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心.
(1)求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求直线AF和平面BEC所成角的余弦值.

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如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=
2
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C1NND1
=
2
2

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如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=,E.F分别是面A1C1.面BC1的中心,求(1)AF和BE所成的角.

(2)AA1与平面BEC1所成角的正弦值.

 

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