Question

若直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x²+y²-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：由题意可得圆心在直线设，即可得出m，n的关系式，经过分类讨论和利用基本不等式即可得出mn的取值范围．

解答：解：圆的方程x²+y²-4x-2y-4=0化为（x-2）²+（y-1）²=9，可得圆心C（2，1）．
∵直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x²+y²-4x-2y-4=0的周长，
∴圆心C在直线上，∴2m+2n-4=0，化为m+n=2．
当m＞0，n＞0，m≠n时，2=m+n＞2

mn

，化为mn＜1．
当mn=0时，mn=0．
当m＜0或n＜0（不同时成立）时，mn＜0．
综上可知mn的取值范围是（-∞，1）．
故答案为（-∞，1）．

点评：本题考查了圆的性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．