Question

设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的，现投掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是偶数，棋子移动到另一个顶点；若投出的点数是奇数，则棋子不动．若棋子的初始位置在顶点A．
求：（Ⅰ）投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率；
（Ⅱ）记投了n次骰子，棋子在顶点B的概率为P_n．求P_n．

Answer 1

（I）根据题意得到棋子不动的概率为

1

2

，棋子移动的概率为

3

6

×

1

3

=

1

6

投了2次骰子，棋子才到达顶点B有三种方式：A→A→B，A→D→B，A→C→B
故概率为P=

1

2

×

1

6

+

1

6

×

1

6

+

1

6

×

1

6

=

5

36

（II）根据题意知
Pn=

1

2

pn-1+

1

6

(1-pn-1)=

1

3

pn-1+

1

6

且p1=

1

6

所以pn-

1

4

=

1

3

(pn-1-

1

4

)
所以pn-

1

4

=(p1-

1

4

)×(

1

3

)n-1
所以pn=

1

4

-

1

12

(

1

3

)n-1