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17.如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2,点E为棱PA的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

分析 可画出图形,连接AC,BD,设交于O点,连接PO,从而可以根据条件得到OB,OC,OP三直线两两垂直,可分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可求出空间一些点的坐标,从而可得到向量$\overrightarrow{BE},\overrightarrow{PD}$的坐标,从而可以求得这两向量夹角的余弦值,从而便可得到异面直线BE与PD所成角的余弦值.

解答 解:如图,连接AC,BD,并交于O点,连接PO,根据题意知,PO⊥底面ABCD;
又底面ABCD为正方形;
∴AC⊥BD;
∴OB,OC,OP三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:

根据条件可确定以下几点坐标:A(0,$-\sqrt{2}$,0),$P(0,0,\sqrt{2})$,$E(0,-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$B(\sqrt{2},0,0),D(-\sqrt{2},0,0)$;
∴$\overrightarrow{BE}=(-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$\overrightarrow{PD}=(-\sqrt{2},0,-\sqrt{2})$;
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}=2+0-1=1$,$|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{3},|\overrightarrow{PD}|=2$;
∴$cos<\overrightarrow{BE},\overrightarrow{PD}>=\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$;
∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

点评 考查通过建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法,能求空间点的坐标,根据点的坐标可以得出向量的坐标,向量数量积的坐标运算,以及向量夹角余弦的计算公式,清楚异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系.

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