Question

已知不等式x²-4x+3＜0的解集是A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）函数f（x）=log₂（a-x）（a∈R）的定义域为集合B，若A⊆B，求a的取值范围；
（Ⅲ）不等式ax²-2x-2a＞0（a∈R且a≠0）的解集为C，若A∩C≠φ，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解不等式x²-4x+3＜0可得A
（Ⅱ）由题意可得B=（-∞，a）由A⊆B 结合数轴可求a的取值范围            
（Ⅲ）（法一）设g（x）=ax²-2x-2a，由A∩C≠φ可知1，3∈C，则①a＞0时，g（3）＞0；②a＜0时，g（1）＞0可求a的范围
（法二）由f（x）为二次函数，可得a≠0，令f（x）=0，解得其两根为x₁=

1

a

-

2+ 1 a2

＜0，x₂=

1

a

+

2+ 1 a2

＞0
①当a＞0时，A={x|x＜x₁或x＞x₂}，又A∩C≠∅，则满足：x₂＜3，②当a＜0时，A={x|x₁＜x＜x₂}，满足x₂＞1，从而可求a的范围

解答：解：（Ⅰ）解不等式x²-4x+3＜0可得1＜x＜3
所以，A=（1，3）…（4分）
（Ⅱ）由题意可得B=（-∞，a）
∵A⊆B∴a≥3                  …（8分）
（Ⅲ）设g（x）=ax²-2x-2a1
①a＞0时，g(3)＞0⇒a＞

6

7

；
②a＜0时，g（1）＞0⇒a＜-2
则a的取值范围是(-∞，-2)∪(

6

7

，+∞)．…（15分）
另解：∵f（x）为二次函数，∴a≠0，令f（x）=0，解得其两根为x₁=

1

a

-

2+ 1 a2

＜0，x₂=

1

a

+

2+ 1 a2

＞0
①当a＞0时，A={x|x＜x₁或x＞x₂}，又知集合B={x|1＜x＜3}，A∩C≠∅，则满足：x₂＜3，即

1

a

+

2+ 1 a2

＜3，
∴a＞

6

7

；
②当a＜0时，A={x|x₁＜x＜x₂}，A∩C≠∅其满足x₂＞1，即

1

a

+

2+ 1 a2

＞1，解得a＜-2．
综上所述，使A∩C≠∅成立的a的取值范围是(-∞，-2)∪(

6

7

，+∞)．

点评：本题目主要考查了二次不等式的解法，对数函数的定义域的求解及二次函数与二次不等式、二次方程之间的相互转化，结合之间的包含关系的应用．