Question

【题目】已知函数f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．

由于ax﹣1≠0，

则ax≠1，

∴x≠0，

故得函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．

（2）对于定义域内任意的x，有

f（﹣x）=（ ）（﹣x）3= = = =f（x）

∴f（x）是偶函数．

（3）①当a＞1时，对x＞0，

∴ax＞1，即ax﹣1＞0，

∴ + ＞0．

又x＞0时，x3＞0，

f（x）= ＞0．

即 a＞1时，f（x）＞0．

由（2）知，f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），

则当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＞0成立．

综上可知，当a＞1时，f（x）＞0在定义域上恒成立．

②当0＜a＜1时，f（x）=

当x＞0时，0＜ax＜1，此时f（x）＜0，不满足题意；

当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＜0，也不满足题意．

综上可知，所求a的取值范围是a＞1．

即a的取值范围为（1，+∞）．

【解析】（1）根据分母不为零可求出函数的定义域即可。（2）由奇偶性的定义判断即可。（3）对a分情况讨论，再根据函数解析式的特点求出满足题意的函数的取值范围进而得到a的取值范围
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的定义域及其求法和函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．