【题目】对于定义在区间D上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意,都有,且对任意∈D,当时,恒成立,则称函数为区间D上的“平底型”函数.
(Ⅰ)判断函数和是否为R上的“平底型”函数? 并说明理由;
(Ⅱ)设是(Ⅰ)中的“平底型”函数,k为非零常数,若不等式对一切R恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若函数是区间上的“平底型”函数,求和的值.
.
【答案】(1)不是“平底型”函数(2)实数的范围是⑶m=1,n=1
【解析】
【解】(1)对于函数,当时,.
当或时,恒成立,故是“平底型”函数
……………………………………………………………2分
对于函数,当时,;
当时,.
所以不存在闭区间,使当时,恒成立.
故不是“平底型”函数. ……………………………………4分
(Ⅱ)若对一切R恒成立,则.
因为,所以.又,则. ……6分
因为,则,解得.
故实数的范围是. …………………………………………………8分
(Ⅲ)因为函数是区间上的“平底型”函数,则
存在区间和常数,使得恒成立.
所以恒成立,即.解得或. ……10分
当时,.
当时,,当时,恒成立.
此时,是区间上的“平底型”函数. ………………12分
当时,.
当时,,当时,.
此时,不是区间上的“平底型”函数. ………………13分
综上分析,m=1,n=1为所求. ………………………………………14分
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【题目】某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积(平方米)与时间(月)之间的函数关系式是且,它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是平方米;②第个月浮草的面积超过平方米;③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到平方米,平方米,平方米所经过的时间分别为,则.其中正确命题的序号有_____.(注:请写出所有正确结论的序号)
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【题目】已知圆C:x2+y2﹣4x﹣6y+12=0,点A(3,5).
(1)将圆C的方程化为标准方程,并写出圆C的圆心坐标及半径r;
(2)求过点A的圆的切线方程.
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【题目】已知抛物线上一点到焦点的距离,倾斜角为的直线经过焦点,且与抛物线交于两点、.
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若为锐角,作线段的中垂线交轴于点.证明:为定值,并求出该定值.
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【题目】(2018·湖南师大附中摸底)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是________.
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【题目】2018年9月24日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学届的震动。在1859年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想。在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论。若根据欧拉得出的结论,估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数,,计算结果取整数)
A. 768 B. 144 C. 767 D. 145
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【题目】按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定,交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是保费浮动机制,保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
投保类型 | 浮动因素 | 浮动比率 |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 上浮10% | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况,随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 20 | 10 | 10 | 20 | 15 | 5 |
以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:
(1)某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年,记为该车在第四年续保时的费用,求的分布列;
(2)某销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至少有2辆事故车的概率;
②假设购进一辆事故车亏损4000元,一辆非事故盈利8000元,若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求其获得利润的期望值.
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