Question

2．如图，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁的直线与双曲线的左、右两支分别相交于B、A两点，若△ABF₂为等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据双曲线的定义算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等边三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=$\sqrt{7}$a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．

解答 解：根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|，
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°，
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，解之得c=$\sqrt{7}$a，
由此可得双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，题目考查经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．