给出下列四个命题:①命题?x2＞1.x＞1的否定是?x2≤1.x≤1,②函数f(x)=ax-1ax+1在R上单调递减,③设f(x)是R上的任意函数.则f是偶函数,④定义在R上的函数f(x)对于任意x的都有f(x-2)=-4f(x).则f(x)为周期函数,⑤已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2.22).则f(4)的值等于12其中真命题的序号是 (把所有真命题� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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给出下列四个命题：
①命题?x²＞1，x＞1的否定是?x²≤1，x≤1；
②函数f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞0且a≠1)在R上单调递减；
③设f（x）是R上的任意函数，则f（x）+f（-x）是偶函数；
④定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f(x-2)=-

f(x)

，则f（x）为周期函数；
⑤已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点(2，

)，则f（4）的值等于

其中真命题的序号是

（把所有真命题的序号都填上）．

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①写出命题?x²＞1，x＞1的否定，可判断①；
②由于函数f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

ax+1

，分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，可知该函数的单调情况，从而可判断②；
③设令h（x）=f（x）+f（-x），利用奇偶函数的概念可判断③；
④由f(x-2)=-

f(x)

⇒f[（x-2）-2]=-

f(x-2)

=f（x），可判断④；
⑤已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点(2，

)，可求得f（x）=2-

，从而可求f（4）的值，可判断⑤．

解答： -x解：对于①，命题?x²＞1，x＞1的否定是?x²＞1，x≤1，故①错误；
对于②，函数f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

ax+1

，
当0＜a＜1时，y=a^x+1是减函数，y=

ax+1

为增函数，故f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

ax+1

为减函数；
当a＞1时，y=a^x+1是增函数，同理可得f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

ax+1

为增函数，故②错误；
对于③，设f（x）是R上的任意函数，令h（x）=f（x）+f（-x），
则h（-x）=f（-x）+f（x）=h（x），
所以f（x）+f（-x）是偶函数，故③正确；
对于④，定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f(x-2)=-

f(x)

，则f[（x-2）-2]=-

f(x-2)

=f（x），
所以f（x）是以4为周期函数，故④正确；
对于⑤，已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点(2，

)，则

=2^α，解得α=-

，
所以f（4）=4-

，故⑤正确；
综上所述，③④⑤正确；
故答案为：③④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查命题的否定及幂函数的性质，属于中档题．

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