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已知a、b、c、d都是实数,且a2+b2=m2,c2+d2=n2(m>0,n>0),求证:|ac+bd|≤.

思路分析:证明此题时,可将ac、bd分别看成整体,那么就可以套用定理1来证明了.

证明:∵a、b、c、d∈R,

∴|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤

=,

∴|ac+bd|≤.

误区警示

    如果利用ab≤来证明此题,就容易出现似是而非的证法,而利用较严格的公式|ab|≤来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

23、课本小结与复习的参考例题中,给大家分别用“综合法”,“比较法”和“分析法”证明了不等式:已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,则|ac+bd|≤1.这就是著名的柯西(Cauchy.法国)不等式当n=2时的特例,即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),等号当且仅当ad=bc时成立.
请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式,并用一种方法加以证明.

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已知a,b,c,d都是实数,求证
a2+b2
+
c2+d2
(a-c)2+(b-d)2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b,c,d都是正数,S=
a
a+b+d
+
b
b+c+a
+
c
c+d+a
+
d
d+a+c
,则S的取值范围是
(1,2)
(1,2)

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科目:高中数学 来源: 题型:

选修4-5;不等式选讲
已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:|ac+bd|≤1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(附加题)已知 a、b、c、d都是正数,求证1<
a
a+b+d
+
b
b+c+a
+
c
c+d+b
+
d
d+a+c
<2

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