【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的短轴长为2,倾斜角为的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,且点M与坐标原点O连线的斜率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若,P是以AB为直径的圆上的任意一点,求证:.
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【题目】《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标.为加强心理健康教育工作的开展,不断提高学生的心理素质,九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课,学分为2分.学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价,获得“合格”评价的学生给予50分的平时分,获得“不合格”评价的学生给予30分的平时分,另外还将进行一次测验.学生将以“平时分×40%+测验分×80%”作为“最终得分”,“最终得分”不少于60分者获得学分.
该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下:
测验分 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
平时分50分人数 | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 | 2 |
平时分30分人数 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
(1)根据表中数据完成如下2×2列联表,并分析是否有95%的把握认为这些学生“测验分是否达到60分”与“平时分”有关联?
选修人数 | 测验分 达到60分 | 测验分 未达到60分 | 合计 |
平时分50分 | |||
平时分30分 | |||
合计 |
(2)用样本估计总体,若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取5人,设获得学分人数为,求的期望.
附:,其中
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879/p> | 10.828 |
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【题目】已知椭圆的离心率为,过点的椭圆的两条切线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在椭圆上是否存在这样的点,过点引抛物线的两条切线,切点分别为,且直线过点?若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
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【题目】已知动圆过定点,且与直线相切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程;
(2)是否存在直线,使过点(0,1),并与轨迹交于两点,且满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为:(为正常数,为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那么要能够按规定排放废气,至少还需要过滤( )
A. 小时B. 小时C. 5小时D. 小时
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【题目】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
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【题目】已知直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点,且|M1M2|=8.
(1)求p的值;
(2)设A是直线y=上一点,直线AM2交抛物线于另一点M3,直线M1M3交直线y=于点B,求的值.
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【题目】已知数列{}的前n项和为Sn,,且对任意的n∈N*,n≥2都有。
(1)若0,,求r的值;
(2)数列{}能否是等比数列?说明理由;
(3)当r=1时,求证:数列{}是等差数列。
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