Question

已知x、y满足约束条件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则

3

a

+

4

b

的最小值为

7

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时

3

a

+

4

b

的最小值为7．

解答：解：作出不等式组

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），
将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，
可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．
∴z_max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．
因此，

3

a

+

4

b

=

1

7

（3a+4b）（

3

a

+

4

b

）=

1

7

[25+12（

b

a

+

a

b

）]，
∵a＞0，b＞0，可得

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，
∴

3

a

+

4

b

≥

1

7

（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，

3

a

+

4

b

的最小值为7．
故答案为：7

点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求

3

a

+

4

b

的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．