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精英家教网如图所示,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证:平面PDE⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角C-PD-E的大小;
(Ⅲ)求点B到平面PDE的距离.
分析:(I)由题意,利用三角形相似及角的互余得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理求出线面垂直,进而利用面面垂直的判定定理证出面面垂直;
(II)利用面面垂直及三垂线定理求出二面角的平面角,然后再三角形中解出二面角的大小;
(III)利用线面垂直的性质及直角三角形求出点到面的距离.
解答:解:(Ⅰ)设AC与DE交点为G,延长DE交CB的延长线于点F,
则△DAE≌△FBE,∴BF=AD=1,∴CF=4,∴tan∠F=
DC
CF
=
1
2

又∵tan∠ACD=
AD
DC
=
1
2
,∴∠F=∠ACD,
又∵∠ACD+∠ACF=90°,∴∠F+∠ACF=90°,
∴∠CGF=90°,∴AC⊥DE
又∵PC⊥底面ABCD,∴PC⊥DE,∴DE⊥平面PAC,
∵DE?平面PDE,∴平面PDE⊥平面PAC
(Ⅱ)连接PG,过点C作CH⊥PG于H点,取PD中点I,连接CI,易知CI⊥PD
精英家教网又由(Ⅰ)知平面PDE⊥平面PAC,且PG是交线,
根据面面垂直的性质,得CH⊥平面PDE,
由三垂线定理知HI⊥PD
从而∠CIH为二面角C-PD-E的平面角
在等腰Rt△PCD中,CI=
2
2
PC=
2

在Rt△DCA中,CG=
CD2
AC
=
22
22+12
=
4
5
5

在Rt△PCG中,CH=
PC•CG
PG
=
PC•CG
PC2+CG2
=
2•
4
5
5
6
5
5
=
4
3

从而sin∠CIH=
CH
CI
=
2
2
3
,则∠CIH=arcsin
2
2
3

即二面角C-PD-E的大小为arcsin
2
2
3

(Ⅲ)由于BF=
1
4
CF
,所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的
1
4
,即
1
4
CH
.在Rt△PCG中,CH=
PC•CG
PC2+CG2
=
4
5
5
22+(
4
5
5
)
2
=
4
3

从而点B到平面PDE的距离等于
1
3
点评:此题重点考查了三角形相似,线线垂直,线面垂直的判定及性质,面面垂直的判定及性质,还考查了利用三垂线定理求出二面角,点到平面的距离定义及利用反三角函数表示角的大小,
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