Question

（2012•道里区二模）已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，点M是△ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则

AN

•

AM

的最大值为

7

2

．

Answer 1

分析：由题意，得△ABC是以B为直角的直角三角形，因此建立如图直角坐标系，设M（x，y），可得向量

AM

和

AN

的坐标，从而得到

AN

•

AM

关于x、y的表达式，结合点M在△ABC内部或边界上运动，可得当点M与原点重合时

AN

•

AM

的最大值为

7

2

．

解答：解：∵∠C=60°，AC=2，BC=1，
∴AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=3，得AB=

3

可得△ABC是以B为直角的直角三角形
因此，以C为原点，CB所在直线为x轴建立如图坐标系，
可得C（0，0），B（1，0），A（1，

3

）
∴BC中点N（

1

2

，0），得

AN

=（-

1

2

，-

3

）
设M（x，y），得

AM

=（x-1，y-

3

）
∴

AN

•

AM

=-

1

2

（x-1）+（-

3

）（y-

3

）=-

1

2

x-

3

y+

7

2

点M在△ABC内部或边界上运动，当点M与原点重合时，-

1

2

x-

3

y+

7

2

=

7

2

，取得最大值
即

AN

•

AM

的最大值为

7

2

故答案为：

7

2

点评：本题给出直角三角形内的动点，求向量数量的最大值，着重考查了解三角形和平面向量的数量积公式等知识，属于中档题．