Question

已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.

（1）写出抛物线的标准方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.

Answer 1

解：（1）由题意，抛物线的方程为：，                                                       

（2）设直线的方程为：.

联立，消去，得 ， 

显然，设，则     ① ，     ②                   又，所以      ③                                     

由①② ③消去，得， 故直线的方程为或 .        

（3）设，则中点为， 因为两点关于直线对称，

所以，即，解之得，                   

将其代入抛物线方程，得：，所以，.  

联立 ，消去，得：.                  

由，得

，即，                          

将，代入上式并化简，得，

所以，即，因此，椭圆长轴长的最小值为.