Question

对于函数f(x)=a+

2

2x+1

(x∈R)，
（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（2）若f（x）是奇函数，求a值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer 1

分析：（1）按取点，作差，变形，判断的过程来即可．
（2）利用奇函数定义域内有0，f（0）=0来求a值；
（3）利用单调性和奇偶性把f（2t+1）+f（t-5）≤0转化为2t+1≥-t+5即可．

解答：（1）证明；设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（2）解：由（1）的f（x）在R上是单调减函数，即函数定义域为R，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0?a=-1．
（3）解：有（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数
∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），?2t+1≥-t+5?t≥

4

3

故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥

4

3

}．

点评：本题综合考查了函数的单调性和奇偶性．在用定义证明或判断一个函数在某个区间上的单调性时，基本步骤是取点，作差或作商，变形，判断．