Question

14．若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，求函数y=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$+2tanx+1的最值及相应的x值．

Answer 1

分析 运用同角的三角函数的关系，化函数y=tan²x+2tanx+2，令t=tanx，由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，可得t∈[-$\sqrt{3}$，1]，再由二次函数的最值的求法，即可得到所求最值及对应的x的值．

解答 解：函数y=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$+2tanx+1=$\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x}$+2tanx+1
=tan²x+2tanx+2，
令t=tanx，由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，可得t∈[-$\sqrt{3}$，1]，
函数y=t²+2t+2=（t+1）²+1，
当t=-1，即x=-$\frac{π}{4}$时，函数取得最小值1；
当t=1，即x=$\frac{π}{4}$时，函数取得最大值5．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和正切函数的单调性，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，属于中档题．