Question

已知抛物线C：y=ax²，点P（1，-1）在抛物线C上，过点P作斜率为k₁、k₂的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且满足k₁+k₂=0．
（I）求抛物线C的焦点坐标；
（II）若点M满足

BM

=

MA

，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）将P代入抛物线C的方程即可求得a，进而抛物线的方程可得．
（II）设直线PA的方程为y+1=k₁（x-1），与抛物线方程联立消去y，得到关于x₁的一元二次方程根据韦达定理求得x₁与k₁的关系，同样设直线PB的方程为y+1=k₂（x-1）与抛物线方程联立消去y，进而可得x₂与k₂的关系，设点M的坐标为（x，y）根据向量

BM

=

MA

的关系求得x=-1，得出M的轨迹．

解答：解：（I）将P（1，-1）代入抛物线C的方程y=ax²得a=-1，
∴抛物线C的方程为y=-x²，即x²=-y．
焦点坐标为F（0，-

1

4

）．
（II）设直线PA的方程为y+1=k₁（x-1），
联立方程

y+1=k1(x-1) y=-x2.

消去y得x²+k₁x-k₁-1=0，
则1•x₁=-k₁-1，即x₁=-k₁-1．
由△=k₁²-4（-k₁-1）=（k₁+2）²＞0，得k₁≠-2．
同理直线PB的方程为y+1=k₂（x-1），
联立方程

y+1=k2(x-1) y=-x2.

消去y得x²+k₂x-k₂-1=0，
则1•x₂=-k₂-1，即x₂=-k₂-1．且k₂≠-2．
又∵k₁+k₂=0，∴k₁≠2．
设点M的坐标为（x，y），由

BM

=

MA

，则x=

x1+x2

2

.x=

-k1-1-k2-1

2

=

-2-(k1+k2)

2

.
又∵k₁+k₂=0，∴x=-1．
y=

y1+y2

2

=

- x 2 1 - x 2 2

2

=

-(k1-1)2-(-k2-1)2

2

=

-(-k1-1)2-(k1-1)2

2

=-（k₁²+1）≤-1，
又k₁≠±2，∴y≠-5．
∴所求M的轨迹方程为：x=-1（y≤-1且y≠-5）．

点评：本题主要考查抛物线与直线之间的关系，考查学生综合分析和运用所学知识的能力．