Question

（2013•黄浦区二模）已知f(x)=4-

1

x

，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是

（0，4）

．

Answer 1

分析：依题意，f（x）=4-

1

x

在[a，b]上单调增，则f（a）=ma，f（b）=mb，从而可得mx²-x+1=0必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=4-

1

x

在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]
所以f（a）=ma且f（b）=mb，
即4-

1

a

=ma且4-

1

b

=mb，
所以ma²-4a+1=0且mb²-4b+1=0，
所以mx²-4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，
∴

4 2m ＞0 1 m ＞0 △=16-4m＞0

，解得0＜m＜4．
∴实数m的取值范围是（0，4）．
故答案为：（0，4）．

点评：本题考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为mx²-x+1=0必须有两个不相等的正根是关键，属于难题．