Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx

∴

解f′（x）＞0，

即：2x2﹣3x+1＜0

函数f（x）的单调递增区间是 ．

（2）解：f′（x）=﹣2x+a﹣ ，

∵f（x）在 上为减函数，

∴x∈ 时﹣2x+a﹣ ≤0恒成立．

即a≤2x+ 恒成立．

设 ，则

∵x∈ 时， ＞4，

∴g′（x）＜0，

∴g（x）在 上递减，

∴g（x）＞g（ ）=3，

∴a≤3

【解析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0， ）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0， ）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的单调性和函数单调性的性质，掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集即可以解答此题．