【题目】为培养学生的阅读习惯,某校开展了为期一年的“弘扬传统文化,阅读经典名著”活动. 活动后,为了解阅读情况,学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量(单位:本),统计结果用茎叶图记录如下,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以a表示.
(Ⅰ)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值,求图中a的所有可能取值;
(Ⅱ)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设,现从所有的“阅读达人”里任取2人,求至少有1人来自甲组的概率;
(Ⅲ)记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生,并记新得到的甲组阅读量的方差为,试比较,的大小.(结论不要求证明)
(注:,其中为数据的平均数)
【答案】(Ⅰ) 或. (Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值,由此能求出图中a的取值.
(Ⅱ)记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人,至少有1人来自甲组”为M.甲组“阅读达人”有2人,在此分别记为A1,A2;乙组“阅读达人”有3人,在此分别记为B1,B2,B3.从所有的“阅读达人”里任取2人,利用列举法能求出从所有的‘阅读达人’里任取2人,至少有1人来自甲组的概率.
(Ⅲ)由茎叶图直接得.
(Ⅰ)甲组10名学生阅读量的平均值为,
乙组10名学生阅读量的平均值为.
由题意,得,即.
故图中a的取值为或.
(Ⅱ)记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人,至少有1人来自甲组”为M.
由图可知,甲组“阅读达人”有2人,在此分别记为,;乙组“阅读达人”有3人,在此分别记为,,.
则从所有的“阅读达人”里任取2人,所有可能结果有10种, 即,,,,,,,,,.
而事件M的结果有7种,它们是,,,,,,
所以.
即从所有的‘阅读达人’里任取2人,至少有1人来自甲组的概率为.
(Ⅲ)由茎叶图直接观察可得.
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【题目】2018年,教育部发文确定新高考改革正式启动,湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度,从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革,某校组织了一次新高考质量测评,在成绩统计分析中,高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求该班数学成绩在的频率及全班人数;
(2)根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分;
(3)若规定分及其以上为优秀,现从该班分数在分及其以上的试卷中任取份分析学生得分情况,求在抽取的份试卷中至少有份优秀的概率.
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【题目】已知抛物线与轴交于点,直线与抛物线交于点,两点.直线,分别交椭圆于点、(,与不重合)
(1)求证:;
(2)若,求直线的斜率的值;
(3)若为坐标原点,直线交椭圆于,,若,且,则是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,设是由 个实数组成的行列的数表,其中 表示位于第行第列的实数,且.
定义 为第s行与第t行的积. 若对于任意(),都有,则称数表为完美数表.
(Ⅰ)当时,试写出一个符合条件的完美数表;
(Ⅱ)证明:不存在10行10列的完美数表;
(Ⅲ)设为行列的完美数表,且对于任意的和,都有,证明:.
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【题目】已知椭圆:的长轴长为4,左、右顶点分别为,经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点(不与点重合).
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)求四边形面积的最大值;
(3)若直线与直线相交于点,判断点是否位于一条定直线上?若是,写出该直线的方程. (结论不要求证明)
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【题目】设是圆上的任意一点,是过点且与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知点,过的直线交曲线于两点,交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列?并说明理由.
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【题目】2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示,其中时间段9:20~9:40记作区间,9:40~10:00记作,10:00~10:20记作,10:20~10:40记作.比方:10点04分,记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记为9:20~10:00之间通过的车辆数,求的分布列与数学期望;
(3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布,其中可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).
参考数据:若,则,,.
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【题目】在平面立角坐标系中,过点的圆的圆心在轴上,且与过原点倾斜角为的直线相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)点在直线上,过点作圆的切线、,切点分别为、,求经过、、、四点的圆所过的定点的坐标.
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