Question

13．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（2）若对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，求出函数f（x）的最大值，最小值，问题等价于对任意a∈（-3，-2），恒有（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-$\frac{1}{3}$-6a，即$am＞\frac{2}{3}-4a$，求出m的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当$a=2时，f（x）=\frac{1}{x}+4x$$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+4=\frac{（2x+1）（2x-1）}{x^2}$，
令f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+4=0，得x₁=$\frac{1}{2}$；x₂=-$\frac{1}{2}$（舍去），
$当0＜x＜\frac{1}{2}时，f'（x）＜0$；$当x＞\frac{1}{2}时，f'（x）＞0$，
所以，函数f（x）的极小值为f（$\frac{1}{2}$）=4，无极大值．   
（2）∵$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=-\frac{（2x-1）（-ax-1）}{x^2}$，
令$f'（x）=0，得x=\frac{1}{2}或x=-\frac{1}{a}$，
∵$a∈（-3，-2）∴-\frac{1}{a}∈（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$，即$-\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，
∴$当-\frac{1}{a}＜x＜\frac{1}{2}时，f'（x）＞0$；$当0＜x＜-\frac{1}{a}及x＞\frac{1}{2}时，f'（x）＜0$，
∴$f（x）在（\frac{1}{2}，+∞）$上是减少的
因此，f（x）在[1，3]上也是减少的，
∴$f{（x）_{max}}=f（1）=1+2a；f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$，
所以，对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，
恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，
等价于：对任意a∈（-3，-2），
恒有（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-$\frac{1}{3}$-6a，
即$am＞\frac{2}{3}-4a$，∴$m＜\frac{2}{3a}-4$，
∵$-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜-\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{13}{3}＜\frac{2}{3a}-4＜-\frac{38}{9}$，
$m∈（{-∞，-\frac{13}{3}}]$

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．