Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得．两两垂直，建立空间直角坐标系，根据可证得．（Ⅱ）根据点在棱上可设，再由，得，由此可得，从而可得．然后可求得平面的法向量为，又平面的一个法向量，可得，然后结合图形可得所求．

详解：（Ⅰ）证明：底面， 平面，面，

∴，，

又，

∴．两两垂直．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.

则由题意得，

∴，

∴，

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．

由点在棱上，

设，，

，

,

解得，

∴．

设平面的法向量为，则

由，得，

令，得．

由题意取平面的一个法向量．

∴，

由图形知二面角是锐角，

所以二面角的余弦值为．