Question

4．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若C=$\frac{5π}{12}$，b=2，求a和c．

Answer 1

分析 （I）由asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB，利用正弦定理可得：${a}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}ac$=b²，再利用余弦定理可得：cosB．
（II）A=π-B-C=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$，而sinC=$sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）$．可得c=$\frac{bsinC}{sinB}$．

解答 解：（I）由asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB，
利用正弦定理可得：${a}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}ac$=b²，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{4}$．
（II）A=π-B-C=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{4}}$=$\sqrt{6}$，
而sinC=$sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）$=$sin\frac{π}{6}cos\frac{π}{4}$+$cos\frac{π}{6}sin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
∴c=$\frac{bsinC}{sinB}$=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．