Question

（2012•广州一模）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，则a₅=

35

，若a_n=145，则n=

10

．

Answer 1

分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a_n=145时，n的值即可．

解答：解：第一个有1个实心点，
第二个有1+1×3+1=5个实心点，
第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，
第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，
…
第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=

3n(n-1)

2

+n个实心点，
故当n=5时，

3n(n-1)

2

+n=

3×5×4

2

+5=35个实心点．
若a_n=145，即

3n(n-1)

2

+n=145，解得n=10
故答案为：35，10．

点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．