Question

已知函数，当x＞0时，恒有
（1）求f（x）的表达式；
（2）设不等式f（x）≤lgt的解集为A，且A⊆（0，4]，求实数t的取值范围．
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵当x＞0时，恒成立
∴，
即（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1，
∴（4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即且（6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以即，（8分）
又因为0＜t＜2，所以实数t的取值范围是（10分）
（3）由（12分）
方程的解集为∅，故有两种情况：
①方程8x²+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，两根均在[-1，0]内，g（x）=8x²+（6+m）x+m
则（17分）
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18（18分）
分析：（1）由已知中函数，当x＞0时，恒有，我们可以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而得到f（x）的表达式；
（2）由（1）中函数f（x）的表达式，利用对数函数的单调性，我们可将不等式f（x）≤lgt，转化为一个分式不等式，由等式f（x）≤lgt的解集为A，且A⊆（0，4]，可以构造出关于关于t的不等式，解不等式即可求出满足条件的实数t的取值范围．
（3）根据对数的运算性质，可将方程f（x）=lg（8x+m），转化为一个关于x的分式方程组，进而根据方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，则方程组至少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，其中（1）的关键是根据已知构造一个关于a，b方程组，（2）的关键是根据对数函数的单调性，将已知中的不等式转化为一个分式不等式，（3）的关键是利用对数的性质，将已知的方程转化为一个x的分式方程组．